0.9999… = ?


無限に関するトピックを1つ.

0.9999…
と無限に小数点以下の 9 が続いていくと何になるでしょうか?

答えは 0.9999… = 1 になります.
この証明は無限等比級数の和を使うと簡単に示せます.

初項を a=9/10, 項比を r=1/10, 第n+1項までの和を Sn とすれば,

  Sn =   a + ra + r2a + r3a + … + rna,
rSn = ra + r2a + r3a + r4a + … + rn+1a

と表せるので, 2つの等式の各辺を差し引きすれば,
(1-r)Sn = a – rn+1a.

ここで, 0 < r < 1 であるから, n → ∞ とすれば, Sn → ∞ = a / (1-r).

よって, (9/10) / (1-1/10) = 1 となります.

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