0.9999… = ?


無限に関するトピックを1つ。

0.9999…
と無限に小数点以下の 9 が続いていくと何になるでしょうか?

答えは 0.9999… = 1 になります。
この証明は無限等比級数の和を使うと簡単に示せます。

初項を a=9/10、項比を r=1/10、第n+1項までの和を Sn とすれば、

  Sn =   a + ra + r2a + r3a + … + rna、
rSn = ra + r2a + r3a + r4a + … + rn+1a

と表せるので、2つの等式の各辺を差し引きすれば、
(1-r)Sn = a – rn+1a。

ここで、0 < r < 1 であるから、n → ∞ とすれば、 Sn → ∞ = a / (1-r)。

よって、(9/10) / (1-1/10) = 1 となります。

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