単連結


2次元球面 S2 (我々が普段球面と思っているもの) 上にへばりついて生活している生物を想像しましょう。
つまり、その生物にとって、球面が宇宙そのものです。

その生物を A と名付けましょう。

いま、 A を囲む球面上の任意のループ (自分自身と交叉しない閉曲線) を考え、ループ上の1点 P を固定します。
A はループの内部にいますが、点 P を固定しておいてループを連続的に変形させてどんどん広げていけば、
たちまち A はループの外部へ出てしまいます。
このことから、球面上ではループの内部にいる A はループの外部にいるとも思えます。
逆も同様です。

ここで、ループの内部・外部という言葉を使いましたが、
それではループを赤道とすれば A は内部と外部のどちらにいるのか?
という問いが生じるので、そもそも球面上では内部・外部の区別は意味がなく、
ループは球面をただ2つの領域に分けると理解してください。

次に、点 P を固定しておいてループを連続的に変形していくと、点 P に縮めることが出来ます.
このとき、ループと点 P は互いにホモトープまたはホモトピックであるといいます。

一般にこのような性質が成り立つ領域は単連結であるといいます。

ちなみに、トーラスは単連結ではありません。

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