凸集合


K を n 次元 Euclid 空間 Rn の部分集合とします。

K の任意の2点 x,y を結ぶ線分 xy が K に含まれるとき
K は Rn の凸集合であると言います:

x,y ∈ K ⇒ xy = {(1-t)x+ty  ;  0 ≤ t ≤ 1,t∈R} ⊂ K.

例えば、 n-1 次元球体 Dn-1Rn の凸集合、立方体は R3 の凸集合です。
また、 Rn 自身も1つの凸集合です。
n-1 次元球面 Sn-1Rn の凸集合ではありません。
空集合は凸集合とみなします。

平面 R2 における凸集合のイメージ
508px-Convex_polygon_illustration1
凸集合

Convex_polygon_illustration2
凸集合ではない

ここで気付いた人もいるかもしれませんが、”凸” という漢字に注目して、
これを R2 の部分集合と思えば明らかに凸集合ではありません。

そんな訳で凸集合について上で述べたのように説明されても
”凸” のせいでそんな感じが余りしないのは私だけでしょうか?