全ての人はハゲである


有名な話なので知っている方も多いと思いますが、ジョークとしては面白いです。

今回はタイトルのとおり「全ての人はハゲである」という主張を
数学的帰納法 (単に帰納法ともいう) により一応証明します。

P(n) を自然数 n に関する命題とします。
数学的帰納法とは

(1) 出発点の P(1) は正しい
(2) 各自然数 k に対し、 P(k) が正しければ P(k+1) も正しい

これら (1)、(2) が成り立てば任意の自然数 n に対して P(n) は正しい、という論法です.

そこで先ほどの主張に帰納法を適用してみます。

(1) 髪の毛が 1 本の人は明らかにハゲである
(2) 髪の毛が k 本の人をハゲとすれば、 k+1 本の人もやはりハゲである

よって、帰納法により全ての人はハゲであるという事になります。

と言われても実際の感覚とは違うので、この議論のおかしな点を述べます。
帰納法とは自然数変数を含む「命題」を証明するための論法でした。

命題とは

正しいか正しくないかを客観的に判断できる主張

のことです。

例えば「富士山は日本で一番高い山である」は命題ですが、「富士山は高い」は命題ではありません。

そこでハゲであるかどうかは主観的なため、
髪の毛が k 本の人はハゲである、ということは一概には言えません。

つまり「髪の毛が k 本の人はハゲである」は命題ではないので、
帰納法を適用するのは実は無理だったわけです。

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