Spherical harmonics


R3 上のラプラシアン Δ = (∂2/∂x2, ∂2/∂y2, ∂2/∂z2) は2階微分作用素ですが、これを R3 の球面極座標
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ
に変換し、 r = 1 に制限したものは球面 S2 上のラプラシアンと呼びます。
これを ΔS2 と書くことにします。
※ΔS2 を導くために直接、球面極座標に変換して計算すると大変なので、先ず
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z
に変換してから、もう一度
ρ = rsinθ, z = rcosθ, φ = φ
のように2次元極座標変換を行えば、計算が割と楽になります。

R3 上の複素係数 n 次同次多項式の空間 Vn は明らかに1つの複素ベクトル空間で、
ラプラシアン Δ の Vn への制限
Δ|Vn : Vn → Vn-2
の kernel を Un とおきます。

そして、 Un の元 を n 次調和多項式といい、
さらに S2 に制限したものは n 次球面調和多項式と呼ばれます。

このように呼ぶと、球面調和多項式 F(1,θ,φ) はあたかも ΔS2F = 0 となる多項式のように思えます。
しかし、実際は ΔS2F = -n(n+1)F となることが計算で確かめられるので、
F(1,θ,φ) は ΔS2 の固有多項式であり、その固有値は -n(n+1) であることが分かります。

球面調和多項式は英語の spherical harmonics の訳ですが、このような性質を持っているため誤解を招く恐れがあります。
適切な訳語であるとは余り思えないので、英語のまま ”spherical harmonics” と言えば良いかもしれません。