代数は環ともいう


“algebra” の和訳は「代数」であり、普通は「代数学」を思い浮かべるでしょうが、
algebra にはまた別の意味があります。

その別の意味では、”algebra” は日本語で「代数」または「環」と訳されます。
ここでいう環は普通の環ではなくて、多元環のことです。

多元環 (結合的多元環ともいう) の定義を述べると、

体 K 上のベクトル空間 A が K 上の多元環であるとは、
A が環の構造を持ち、積を与える写像 A×A → A が双線型であるときをいう。

多元環の例で簡単なものといえば、行列環があります。
これは作用素環の1つですが、作用素環論で重要なのは C* 環と von Neumann 環です。
また、結合法則が成り立たないものは非結合的多元環といわれ、
その代表選手は Lie 環と Jordan 環です。

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