円の面積はゼロ?


我々がよく知っている、
ある点を中心とした半径 r の円の面積は πr2 で与えられますが、
これは誤解を招く恐れがあります。

なぜなら、円の定義は「ある点からの距離が等しい点の集合」だからです。
つまりこの集合は曲線 (円周という) を表しているので面積はゼロになります。
しかし、円の面積という場合は、円周の内部も含めて円 (円板という) とするので面積が測れます。

このように「円」といっても円周なのかそれとも円板なのか注意が必要です。
英語では、円 (円周) を “circle”、円板を “disk” と言って明確に言葉を使い分けています。

photo credit: Poincare lines in Firenze via photopin (license)