円の面積はゼロ?


我々がよく知っている,
ある点を中心とした半径 r の円の面積は πr2 で与えられますが,
これは誤解を招く恐れがあります.

なぜなら, 円の定義は「ある点からの距離が等しい点の集合」だからです.
つまりこの集合は曲線 (円周という) を表しているので面積はゼロになります.
しかし, 円の面積という場合は, 円周の内部も含めて円 (円板という) とするので面積が測れます.

このように「円」といっても円周なのかそれとも円板なのか注意が必要です.
英語では, 円 (円周) を “circle”, 円板を “disk” と言って明確に言葉を使い分けています.

photo credit: Poincare lines in Firenze via photopin (license)