Brouwer の不動点定理


位相幾何学で登場する有名な不動点定理について書きます。

不動点とは、文字通り
連続写像によってある点を移したとき、自分自身へ移る点のことをいいます:
X を位相空間とし、f:X → X を連続写像とするとき、
f(x) = x となる点 x を f の不動点 (または固定点) という。

そして Brouwer (ブラウワー)の不動点定理とは、

Dn を n 次元球体とし、f:Dn → Dn を連続写像とするとき、
f は少なくとも1つは不動点をもつ、

というものです。

低次元について直感的に理解することにします。

・n = 1 のとき:D1 = [-1,1]。
正方形の向かい合う辺を結ぶ曲線 f は必ず対角線 x = f(x) と交わる
ことから分かります。
また、この場合は中間値の定理を使って証明することができます。

・n = 2 のとき:D2 は普通の円板。
座標が描かれた2枚の紙があるとします。
一方の紙はそのまま置いておき、他方の紙をクシャクシャにして2枚の紙を重ねます。
すると、2枚の紙が少なくとも1つの同一点で重なり合う、といった感じです。
(他方の紙を縮小して重ねても良いです)

・n = 3 のとき:D3 は普通の球体。
容器内の液体を掻き混ぜれば、混ぜた後の点で元の位置と変わらない点が
少なくとも 1 つ存在する、という感じです。
もちろん、元の点を掻き混ぜた後の点へ移す写像は連続としています。

数学で不動点定理といっても、幾つもあって
例えば Brouwer の不動点定理の一般化である角谷の不動点定理は経済学で登場します。

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