多項式と図形


平面 R2 上の 2 変数多項式 f(x,y)=x2+y2-1 を考えると、
この多項式の零点集合 (解の集合) は f(x,y)=0 の解、すなわち
{(x,y) ∈ R2   ;   x2+y2=1}
なので、それは原点を中心とした半径 1 の円であることは直ちに分かります。

上の例は次元が低いので、図形をイメージし易いですが、もっと高次元を考えて、
Rn 上の n 変数多項式の零点集合もやはり何か図形を描いています。

一般に、Rn 上の有限個の n 変数多項式の共通零点集合、すなわち
{(x1, …, xn) ∈ Rn  ;   fi(x1, …, xn)=0  (i=1, …, k)}
Rn の部分集合として図形を描いています。
連立方程式 fi(x1, …, xn)=0 は代数方程式と呼ばれます。

このように、一般に代数方程式を考える事 (代数) と
それが定める図形を考える事 (幾何) とは表裏一体であると言えます。

その点に注目して、代数方程式を幾何的に捉えようとする分野が代数幾何であり、
代数方程式の零点集合は代数多様体と呼ばれます。

ところで、上の代数多様体と代数方程式の関係はイデアルの言葉を使って言い換えることができます。
実数上の n 変数の多項式全体の作る環 R[X,Y] を A とすると、Rn に含まれる代数多様体 X の全体と、
A に含まれるイデアル I の全体との間には、次のような関係があります:

  • 代数多様体 X 上で 0 となる多項式全体 I は多項式環 A のイデアルとなる、
  • 逆に、I を A のイデアルとすると、I の全ての多項式の共通零点集合 {(x,y)  ;  i(x,y)=0, ∀i∈I} は、代数多様体になる。

また、代数幾何では、
代数方程式の共通零点を閉集合と定めることにより位相が定義される、
Zariski(ザリスキー)位相というものがあり、代数幾何の基本的概念の1つとなっています。

photo credit: compass via photopin (license)