三角形の面積の求め方 (高校生版)


以前、とある教授から聞いた話です。
教授は大学入試で採点委員を任されていて、数学 (文系) の採点をしていたとのこと。
その時に、ある問題の解答を見て、非常に驚いたそうです。

問題:
曲線 y = x2 の点 P(a,a2) における接線と
点 Q(b,b2) における接線が点 R で交わるとする。
ただし、a < 0 < b とする。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 点 R の座標および三角形 PRQ の面積を求めよ。

図は想像していただくことにします。
解き方を簡単に述べると、まず点 R の座標を求めて、
次に点 R を通る y 軸に平行な直線と直線 PQ が交わる点 R’ の座標を求めれば、

(三角形 PRQ の面積) = (RR’ の長さ) × (b-a) / 2

となって、解答終了です。

このような解き方が簡単だと思いますが、殆どの高校生たちは、
直線 PQ の式から点 P における接線の式を引いて、点 P の x 座標から点 R’ の x 座標まで積分した値と
直線 PQ の式から点 Q における接線の式を引いて、点 R’ の x 座標から点 Q の x 座標まで積分した値とを足す
という解答だったそうです。

何故、皆揃って、このような面倒臭い解き方をしたんでしょうか…

photo credit: British Museum Tesselation via photopin (license)