ほとんど至る所


Lebesgue 積分をやっていると「ほとんど至る所」という概念が必ずでてきます.

P(x) を可測集合 A の元 x に対する命題とします.
ある零集合 (測度が0の可測集合) B ⊂ A があって,
すべての x ∉ B に対して P(x) が成り立つとき,
「P(x) は測度 μ に関してほとんど至る所の x ∈ A に対して成り立つ」といいます.
このことを P(x) μ-a.e. x ∈ A, P(x) a.e. x ∈ A などと書きます.

また「f と g が Ω 上ほとんど至る所等しい」という場合は
f = g a.e. on Ω と書きます.

a.e. は ”almost everywhere” の略で,
a.e. x は ”almost every x” の略ですが, a.e. x のことを ”almost all x” として ”a.a. x” と書く人もいます.
フランス語では ”presque partout” なので, フランス人は ”p.p.” と書いたりします.
確率論では「ほとんど確実に」という意味で ”almost surely” として”a.s.” と書くことが多いようです.

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