sup (上限)


A ⊂ R とします。A が上に有界であるとは
∃M, ∀x ∈ A s.t. x ≤ M
が成り立つ事です。

そして、次のような集合を A の上界と言います:
{ M′ ; x ≤ M′, x ∈ A}.
このとき、最小の上界が存在し、これをAの上限と言い、sup A と書きます。

ここで、sup A は次のように2通りの表し方があることに注意しましょう。
(i) ∀x ∈ A, x ≤ sup A.
(ii) ∀ε > 0, ∃x ∈ A s.t. sup A – ε < x.

図を書いてみると理解しやすいと思います。

<記号の意味>
∃: ある~が存在する。existの意味。
∀: 任意の。全ての。for allの意味。
s.t.: ~となるような。such thatの略。

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