Lectures on Integral Geometry and Harmonic Analysis


Fulton B. Gonzalez, “Lectures on Integral Geometry and Harmonic Analysis,” COE Lecture Note Series 24, 2010.

2009年12月から2010年1月にかけて開催された、
Gonzalez 先生の集中講義の lecture note を基にして刊行されたものです。

集中講義が終わった後は、Gonzalez 教授にメールで原稿の正誤表を送ったりしていました。
原稿103ページ中、75ページ程ざっと目を通し、38ヶ所指摘したところは刊行時に修正されていました。
そして、lecture note の序文には、その仕事に対する功績で私の名前が掲載されています。

この講義の主な話題は Radon 変換に関するものでした。
Radon 変換は医療機器の CT スキャンに用いられているように現代社会に応用されている理論です。

現在では、Radon 変換は群論的に捉えらています。
G を局所 compact 位相群、K と H を G の閉部分群、
G、K、H、K ∩ H を unimodular とすれば、

double fibration
double_fibration
where p(g(K ∩ H))=gK, π(γ(K ∩ H))=γH

が与えられたとき、
X 上の compact 台を持つ複素数値連続函数全体 Cc(X) から
Ξ 上の函数全体への積分変換を Radon 変換と呼びます。

講義では大きく分けて、上のような一般の Radon 変換と
次の2つの double fibration に付随する Radon 変換をやりました。

classical Radon transform
classical
M(n): Rn の等長変換群、
Ξn: Rn の超平面全体、
Z2: xn=0 (x ∈ Rn の第 n 成分が 0) 平面に関する鏡映により生成された群。

d-plane transform on Rn
d-plane
G(d, n): Rn の d-plane (Rn の d 次元 affine 部分空間) 全体、
つまり affine Grassmannian。