微分が消える


ある函数 f : RR の 微分を考えましょう。

x = a で df(x)/dx = 0 となるとき、次のように 2 通りの言い方があります:
(1) 微分が x = a で 0 になる、
(2) 微分が x = a で消える。

(2) の言い方はあまり馴染みがないと思われますが、
英語では ”the derivative vanishes at x = a” という様に、
微分が消えるという言い回しはごく普通だそうです。

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懸垂線 (カテナリー)


函数
y = (cosh ax)/a ( -b ≤ x ≤ b )
のグラフで表される曲線を懸垂線と呼びます.
ここで、aは正の定数で、曲線の両端を x = ±b とします。

この曲線の面白いところはロープや鎖の両端を固定して、
吊り下げたときに描く曲線が懸垂線を表しているという事です。
懸垂線の式の導出は、力の釣り合いによる力学の問題です。

建築物の例としては、明石海峡大橋のメインケーブルは懸垂線を描いています。
また、セントルイスのゲートウェイ・アーチも懸垂線を描いています。
アーチに懸垂線を用いる理由は、力の釣り合いにより建築物の構造として安定しているからです。

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ほとんど至る所


Lebesgue 積分をやっていると「ほとんど至る所」という概念が必ずでてきます。

P(x) を可測集合 A の元 x に対する命題とします。
ある零集合 (測度が0の可測集合) B ⊂ A があって、
すべての x ∉ B に対して P(x) が成り立つとき、
「P(x) は測度 μ に関してほとんど至る所の x ∈ A に対して成り立つ」といいます。
このことを P(x) μ-a.e. x ∈ A, P(x) a.e. x ∈ A などと書きます。

また「f と g が Ω 上ほとんど至る所等しい」という場合は
f = g a.e. on Ω と書きます。

a.e. は ”almost everywhere” の略で、
a.e. x は ”almost every x” の略ですが、a.e. x のことを ”almost all x” として ”a.a. x” と書く人もいます。
フランス語では ”presque partout” なので、フランス人は ”p.p.” と書いたりします。
確率論では「ほとんど確実に」という意味で ”almost surely” として”a.s.” と書くことが多いようです.

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sup (上限)


A ⊂ R とします。A が上に有界であるとは
∃M, ∀x ∈ A s.t. x ≤ M
が成り立つ事です。

そして、次のような集合を A の上界と言います:
{ M′ ; x ≤ M′, x ∈ A}.
このとき、最小の上界が存在し、これをAの上限と言い、sup A と書きます。

ここで、sup A は次のように2通りの表し方があることに注意しましょう。
(i) ∀x ∈ A, x ≤ sup A.
(ii) ∀ε > 0, ∃x ∈ A s.t. sup A – ε < x.

図を書いてみると理解しやすいと思います。

<記号の意味>
∃: ある~が存在する。existの意味。
∀: 任意の。全ての。for allの意味。
s.t.: ~となるような。such thatの略。

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空集合の記号


空集合とは
元を1つも持たない集合です。

そして、空集合の記号は ∅ または0 (ゼロ) にスラッシュを重ねた記号で、
ノルウェー語のアルファベットから来ています。

TeX で文章を作成する際のフォントが Computer Modern の場合、
コマンドはそれぞれ \varnothing、\emptyset となります。

その記号をギリシャ文字の φ (ファイ) で代用している書籍などを見かけるときがありますが、
あれは正しくありません。

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