Lectures on Integral Geometry and Harmonic Analysis


Fulton B. Gonzalez, “Lectures on Integral Geometry and Harmonic Analysis,” COE Lecture Note Series 24, 2010.

2009年12月から2010年1月にかけて開催された,
Gonzalez 先生の集中講義の lecture note を基にして刊行されたものです.

集中講義が終わった後は, Gonzalez 教授にメールで原稿の正誤表を送ったりしていました.
原稿103ページ中, 75ページ程ざっと目を通し, 38ヶ所指摘したところは刊行時に修正されていました.
そして, lecture note の序文には, その仕事に対する功績で私の名前が掲載されています.

この講義の主な話題は Radon 変換に関するものでした.
Radon 変換は医療機器の CT スキャンに用いられているように現代社会に応用されている理論です.

現在では, Radon 変換は群論的に捉えらています.
G を局所 compact 位相群, K と H を G の閉部分群,
G, K, H, K ∩ H を unimodular とすれば,

double fibration
double_fibration
where p(g(K ∩ H))=gK, π(γ(K ∩ H))=γH

が与えられたとき,
X 上の compact 台を持つ複素数値連続函数全体 Cc(X) から
Ξ 上の函数全体への積分変換を Radon 変換と呼びます.

講義では大きく分けて, 上のような一般の Radon 変換と
次の2つの double fibration に付随する Radon 変換をやりました.

classical Radon transform
classical
M(n): Rn の等長変換群,
Ξn: Rn の超平面全体,
Z2: xn=0 (x ∈ Rn の第 n 成分が 0) 平面に関する鏡映により生成された群.

d-plane transform on Rn
d-plane
G(d, n): Rn の d-plane (Rn の d 次元 affine 部分空間) 全体,
つまり affine Grassmannian.

GELFAND PAIRS AND BEYOND


Gerrit Van Dijk, “GELFAND PAIRS AND BEYOND,” COE Lecture Note Series 11, 2008.

2008年4月から5月にかけて開催された,
van Dijk 先生の集中講義の lecture note を基にして刊行されたものです.

Outline:
1. Representations and characters of finite groups
2. Representations of compact groups
3. Characters of infinite-dimensional representations
4. Representations of compact groups (cont.)
5. Spherical harmonics
6. Compact Glefand pairs
7. Gelfand pairs
8. Generalized Gelfand pairs

Exercisesの1つに,
(SU(2), SO(2)) がコンパクト Gelfand pair であることを示す問いがありました.

この解答として, SU(2) の極大トーラス T を用いて
SU(2) = SO(2)TSO(2)
と分解すれば上手くいくと気が付いて, それに関して先生は ”Good idea!” と言って褒めて下さいました.

その解答は lecture note の中で引用されており, 私の名前が掲載されています.

私が, 角度を上手くとって SU(2) を分解したのに対して,
先生は, S3 は SU(2) の等質空間であるから,
e1 の固定部分群を求めて分解するという方法を後で解説なされました.
このような分解の仕方はよく用いられ, 名称の付いているものもあるし,
Lie 群がある空間に推移的に作用していれば, やはりこの方法を使うのがスマートであると言えよう.

Gelfand pair の入門書


Gerrit Van Dijk, “Introduction to Harmonic Analysis and Generalized Gelfand Pairs,” De Gruyter Studies in Mathematics 36, Walter De Gruyter Inc, 2009.

私が Gelfand pair を知る切っ掛けとなったのは,
大学4年生の時に Van Dijk 教授の集中講義を受けたときでした.

Gelfand pair は次のように定義されます.
G をユニモジュラーである局所コンパクト Lie 群, K をそのコンパクト部分群とします.
対 (G, K) が Gelfand pair であるとは,
両側 K-不変な, G 上のコンパクト台を持つ複素数値連続函数の空間が,
合成積に関して可換環になるときに言います.
つまり, 岩堀-Hecke 環が可換であるとき, Gelfand pair と呼びます.

当時 Gelfand pair に関する入門書を探してみましたが見つからず,
Van Dijk 教授に尋ねてみると無いのが現状で, その時の講義ノートくらいでした.
そして, 当時 Van Dijk 教授は Gelfand pair の本も執筆されており,
翌年の 2009 年に出版されたのが本書です.

本書の構成としては, 第1章から第5章までが調和解析の内容で,
Gelfand pair については第6章以降に書かれています.
学部生でも読める内容となっており, 調和解析の予備知識がある読者は,
第6章から読んで差し支え無いと思います.

楽しく論理を学ぼう!


中内伸光『数学の基礎体力をつけるためのろんりの練習帳』共立出版, 2002.

本書はタイトルに「数学」とあるように,
数学を学ぶために必要となる論理について書かれています.

数学科で必要となるのは論理力で, 物事を論理的に考えなければなりません.
そのため, 本格的な数学を学ぶ前に先ず, 論理 (logic) を学びます.

論理記号を使って, 命題の否定を考えたり, 命題の真偽を確かめるので,
慣れれば形式的に命題を操作できるようになります.
前半は命題論理や述語論理ですが, 後半から ε-δ 論法や集合論の基礎について書かれており,
数学の入門としてお薦めです.

また, 例題や演習問題の解答が丁寧で, 読者に対して親切だと思います.
全体を通して内容は良く, この本で勉強すれば基礎を身につけることができるでしょう.

そして, 著者の親父ギャグに所々遭遇しますが, それはそれで良い感じになっていると思います.

線型代数を道具として使いたい人へ


三宅敏恒『入門線形代数』培風館, 1991.

本書の構成は高校数学の参考書そのもので,
初学者には分かりやすいと思います.
さらに色刷りが用いられていることから, 読み易くなっています.

また著者が述べているように,
本書は数学を道具として使いたい人への線型代数の入門書です.
そのため例題や問題は具体的なものが多く,
手を動かして計算することにより手法を身に付ける事ができます.

説明は実行列や R 上のベクトル空間に限っており,
必要最低限のことが書かれているので少し物足りない気がしますが,
全体で 148 ページと薄い本なので気軽に始められる入門書だと思います.