数学科卒は「数字」に強いのか?


社会人になってから、感じたことです。

「大学で数学を勉強していたということは数字に強いんですね。」

数学科を卒業した人なら、一度は言われたことのある一言だと思います。
そういう私も数学科卒なので、社会人になってから言われる機会が時々ありました。

しかし、実際のところ、数学科卒は「数字」に強くないと思います (どちかというと弱い?)。
何に強いかというと「数式 (文字式)」です。

これには理由があって、算数ならともかく、大学数学以上になると、
殆どが文字や論理記号を含んだ「数式」を用いるため、「数字」を扱う頻度がかなり低くなっているからです。
そして、数学科卒は「数字」に弱くなってしまったということです
(もちろん中には「数字」に強く、算数の得意な人はいます)。

1 日中「数式」と向き合っていた学生の頃と比べると、
社会人になってから「数字」を頻繁に扱うようになり慣れてきたものの、
「数字」に強いと思われると、未だに違和感を覚えてしまいます。

数学って、紙とペンさえあれば n 次元 (n は自然数) の世界に入って行けるので面白いですが、
やはり 4 次元以上は目に見えない分、抽象的な話になってしまいますね。

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(-1) × (-1) = 1 になることの証明


よく知られている次の演算規則
(− 1) × (− 1) = 1
がどのようにして導かれるかを見てみましょう。

ここでは、正の数 (自然数) とは何か、負の数とは何かについて深く考えず、
機械的に等式を導くことにします。

まず、1 × {1 + (− 1)} = 1 × 0 = 0 より、分配法則を使えば、
1 × 1 + 1 × (− 1) =0。移行して、1 × (− 1) = − 1 となる。
よって
0 = 0 × (− 1)
    = {1 + (− 1 )} × (− 1)
    = 1 × (− 1) + (− 1) × (− 1)
    = − 1 + (− 1) × (− 1)。
従って、
(− 1) × (− 1) = 1
となる。

数式に現れる負の数の演算も自由に行えるようになったのは、
18世紀になってからであると言われています。
しかし、当時はその正当化はされていませんでした。
その後、負の数の演算規則は、結合法則、可換則、分配法則などから導かれるものであると明確化したのは、
19世紀のイギリスの数学者 George Peacock (ジョージ・ピーコック) (1791 – 1858) の著書『代数学』 (1830) です。
この考え方は、「形式普遍の原理」(もしくは形式不易の原理) と言われ、
正の数で成り立つ命題を負の数にも成り立つと認めるという方法です。

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ダッシュとプライム


例えば f′ と右肩に付いている記号 ”′” を何と読みますか?
f を函数と思っても良いし、只のアルファベットと思っても構いません。

多くの日本人は ”ダッシュ (dash)” と読むのではないでしょうか。
しかし、それは正しくなく ”プライム (prime)” と読むのが正しいです。

実際に、辞書で prime を引いてみると、プライム記号 (”A’” の ”’”記号のこと) と書いてあります。
dash を辞書を引いてみると、ダッシュ記号 (―) と書いてあります。

私は大学で数学を学ぶまでは、”ダッシュ (dash)” と思っていましたが、
数学科の授業では ”プライム (prime)” と読むのが常識でした。

では何故多くの日本人はダッシュと読んでしまうのでしょうか。
それは日本の高校数学でダッシュという読み方が何故か常識になっており、
それが大きく影響していると思われます。

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微分が消える


ある函数 f : RR の 微分を考えましょう。

x = a で df(x)/dx = 0 となるとき、次のように 2 通りの言い方があります:
(1) 微分が x = a で 0 になる、
(2) 微分が x = a で消える。

(2) の言い方はあまり馴染みがないと思われますが、
英語では ”the derivative vanishes at x = a” という様に、
微分が消えるという言い回しはごく普通だそうです。

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懸垂線 (カテナリー)


函数
y = (cosh ax)/a ( -b ≤ x ≤ b )
のグラフで表される曲線を懸垂線と呼びます.
ここで、aは正の定数で、曲線の両端を x = ±b とします。

この曲線の面白いところはロープや鎖の両端を固定して、
吊り下げたときに描く曲線が懸垂線を表しているという事です。
懸垂線の式の導出は、力の釣り合いによる力学の問題です。

建築物の例としては、明石海峡大橋のメインケーブルは懸垂線を描いています。
また、セントルイスのゲートウェイ・アーチも懸垂線を描いています。
アーチに懸垂線を用いる理由は、力の釣り合いにより建築物の構造として安定しているからです。

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