ほとんど至る所


Lebesgue 積分をやっていると「ほとんど至る所」という概念が必ずでてきます。

P(x) を可測集合 A の元 x に対する命題とします。
ある零集合 (測度が0の可測集合) B ⊂ A があって、
すべての x ∉ B に対して P(x) が成り立つとき、
「P(x) は測度 μ に関してほとんど至る所の x ∈ A に対して成り立つ」といいます。
このことを P(x) μ-a.e. x ∈ A, P(x) a.e. x ∈ A などと書きます。

また「f と g が Ω 上ほとんど至る所等しい」という場合は
f = g a.e. on Ω と書きます。

a.e. は ”almost everywhere” の略で、
a.e. x は ”almost every x” の略ですが、a.e. x のことを ”almost all x” として ”a.a. x” と書く人もいます。
フランス語では ”presque partout” なので、フランス人は ”p.p.” と書いたりします。
確率論では「ほとんど確実に」という意味で ”almost surely” として”a.s.” と書くことが多いようです.

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sup (上限)


A ⊂ R とします。A が上に有界であるとは
∃M, ∀x ∈ A s.t. x ≤ M
が成り立つ事です。

そして、次のような集合を A の上界と言います:
{ M′ ; x ≤ M′, x ∈ A}.
このとき、最小の上界が存在し、これをAの上限と言い、sup A と書きます。

ここで、sup A は次のように2通りの表し方があることに注意しましょう。
(i) ∀x ∈ A, x ≤ sup A.
(ii) ∀ε > 0, ∃x ∈ A s.t. sup A – ε < x.

図を書いてみると理解しやすいと思います。

<記号の意味>
∃: ある~が存在する。existの意味。
∀: 任意の。全ての。for allの意味。
s.t.: ~となるような。such thatの略。

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空集合の記号


空集合とは
元を1つも持たない集合です。

そして、空集合の記号は ∅ または0 (ゼロ) にスラッシュを重ねた記号で、
ノルウェー語のアルファベットから来ています。

TeX で文章を作成する際のフォントが Computer Modern の場合、
コマンドはそれぞれ \varnothing、\emptyset となります。

その記号をギリシャ文字の φ (ファイ) で代用している書籍などを見かけるときがありますが、
あれは正しくありません。

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行と列


数学において、”matrix” とは、数を長方形に並べて括弧でまとめたものです。
これは行と列からできているので、日本語では「行列」と呼ばれます。
行とは数の横の並びを言い、列とは数の縦の並びを言います。
matrix の邦訳をつけたのは数学者高木貞治だそうです。

日常生活においても、行と列の意味はそれぞれ横と縦の並びを表しますが、使い分けが適当だったりします。
例えば、「(車が横に並んでいるにも関わらず) 列の一番端に停めてください」や
「前3列を空けて座ってください」などと何故か「列」が使われることが多いです。
「行」を聞いたことが殆どありません。

行と列の意味を正しく理解するには、それぞれの漢字の旁に注目すると一目瞭然です。
は横の並び、は縦の並び。

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函数の由来


現在、数学用語のカンスウを漢字で表記すると、
「関数」が一般的に使われていると思います。

日本語としての関数は本来「函数」と書きます。
私は普段「函数」を使っています。

これは英語 function の中国における訳語である函数 (hánshù) をそのまま日本に持ち込んだものです。
function が漢訳される際に発音が似ている「函」の字をあて、
数学に関する用語として「函数」としたのではないかという説があります。

日本では、昭和21年以降、「函」が漢字制限による当用漢字に含まれなかったため、
同音の「関」という漢字が使われるようになりました。

また、「函」は「箱」の意味を持つことから、函数は「ブラックボックス」の働きとして捉えることができます。
つまり、ブラックボックスの入口から入ってくる x にある加工を施して、
出口に y を出力する対応のさせ方が函数として表されます。

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