数学に関する論説を PDF ファイルで公開しています.
13. 『等質正則開凸錐と単位元を持つクラン』 2011/01/20
英題: Homogeneous regular open convex cones and clans with unit element
修士論文のイントロダクションを公開します.
要旨：Vinberg の理論より, 等質錐と単位元を持つクランとは 1 対 1 に対応するが,
本論文ではこの等質錐とクランの対応を再構築し, 見通しの良い内容に改める.
特に単位元を持つクランから等質錐の構成については, Vinberg の原論文とは異なった, より直接的な道筋を与える.
12. 『等質正則開凸錐と単位元を持つクラン (スライド版)』 2011/02/09
英題: Homogeneous regular open convex cones and clans with unit element (slide ver.)
修士論文の内容をプレゼンテーション用にスライドで作りました.
11. 『正則開凸錘の幾何概説』 2011/01/20
英題: Geometry of regular open convex cones
この論説では, (正則) 開凸錐の一般論を概説します.
より詳しくは他の文献をご参照ください.
10. 『Helmholtz の法則』 2009/07/15
英題: Helmholtz’s law
Helmholtz の第1～3法則までを解説しています.
これはレポート課題の一部です.
9. 『映画 “Good Will Hunting” に登場する数学の問題』 2009/04/19
英題: The Good Will Hunting Problem
私の好きな映画の１つであるグッド・ウィル・ハンティングに登場する数学の問題の解答を示します.
8. 『SU(2) と SO(3) の有限次元既約表現の分類』 2009/01/21
英題: Representations of SU(2) and SO(3)
2 次特殊ユニタリ群 SU(2) と 3 次特殊直交群 SO(3) はコンパクト Lie 群であるから,
表現の完全可約性により任意の有限次元表現は既約表現の直和に分解されます.
そこで, 具体的に SU(2) と SO(3) の有限次元既約表現の構成と分類を行います.
また SO(3) の既約表現は SU(2) からの 2 重被覆写像を通じてSU(2) の既約表現に還元されることを見るでしょう.
ここでは微分表現を利用して, Lie 環の表現から導く方法により議論します.
7. 『U(1) の有限次元複素表現』 2009/01/05
英題: Finite Dimensional Complex Representations of U(1)
Lie 群の最も簡単な例の 1 つである U(1) の既約表現を決定し,
U(1) の任意の有限次元複素表現はその既約表現の直和に分解されることを示します.
キーワードは“コンパクト位相群”と“可換群”です.
6. 『SU(2) と SO(3) の関係』 2008/08/22
英題: Relationship between SU(2) and SO(3)
SU(2) の随伴表現は SU(2) から SO(3) への全射準同型で 2 対 1 の写像である,
という回転群の表現でよく知られた定理を証明します.
この証明は, やや専門的な数学を使えばスマートにできますが,
線型代数と群論の基本的な知識だけでも証明することができるので, ここでは後者を採用することにしました.
5. 『Gelfand Pairs and Beyond – Exercises』 2008/05/10
van Dijk 教授の Glfand Pairs の講義で出されたレポート問題の解答です.
全問解いていません.
(SU(2), SO(2)) がコンパクト Gelfand pair であることを示すのに,
SU(2) の極大トーラス T を用いて SU(2) = SO(2)TSO(2) と分解すれば上手くいくと気が付いて,
それに関して教授は ”Good idea!” と言って褒めて下さいました.
4. 『Achilles と亀のパラドックス』 2007/11/25
英題: Achilles and the Tortoise
Zeno のパラドックスは幾つかありますが,
その中でも有名な Achilles と亀の話について数学的に解説します.
3. 『分離公理』 2007/08/09
英題: Separation Axioms
距離空間と一般の位相空間との差を示す分離公理について述べます.
また, ある条件により, 一般の位相空間が距離空間になる Urysohn の距離化定理を紹介します.
2. 『Fibonacci 数列と黄金比』 2007/04/06
英題: Fibonacci Numbers and The Golden Ratio
Fibonacci 数列と黄金比の関係について簡単に解説します.
1. 『Lotka-Volterra 捕食系の改良』 2007/02/08
英題: Improvement of The Lotka-Volterra Model
卒業論文の内容をプレゼンテーション用にスライドで作りました.
Abstract: The Lotka-Volterra model expresses relations between prey and predator, however it is unreal.
One of the unrealistic hypotheses for the model is that prey increase infinitely when predator is
none. In order to make the model be more realistic we need to improve it as follows: the per capita
growth rate depends on prey and predator, respectively. Thus, we will make more realistic model
which expresses relations between prey and predator, and analyze its behavior.