私はコーヒーカップとドーナツの区別がつきません.

もちろん見た目は違いますが, ある見方をすると同じ図形と見做されるのです.

トポロジー (位相幾何学) という数学の分野では, それら2つの図形を区別しません.
実際, コーヒーカップを連続的に変形させていくとドーナツになります.
コーヒーカップの取っ手の輪を広げていくと, ドーナツ型に変形しませんか？

数学でトポロジーというと, 2つの意味があって,
1つは位相空間の話を延々とする一般位相 (general topology) で,
もう1つは図形の性質などを調べる位相幾何学です.
位相幾何の「位」は「位置」を, 「相」は「形相」を表しています.

どちらも数学の分野では幾何に属します.
数学の分野を大きく分けると, 「代数 (algebra) ・幾何 (geometry) ・解析 (analysis) 」の3つに分かれますが,
細かく分けると数多くの分野があります.
例えば, AMS (American Mathematical Society, アメリカ数学会) が定めたものはこちら.
全分野を勉強するのは無理がある言っていいでしょう.

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