多項式と図形

平面 R2 上の 2 変数多項式 f(x,y)=x2+y2-1 を考えると,
この多項式の零点集合 (解の集合) は f(x,y)=0 の解, すなわち
{(x,y) ∈ R2   ;   x2+y2=1}
なので, それは原点を中心とした半径 1 の円であることは直ちに分かります.

上の例は次元が低いので, 図形をイメージし易いですが, もっと高次元を考えて,
Rn 上の n 変数多項式の零点集合もやはり何か図形を描いています.

一般に, Rn 上の有限個の n 変数多項式の共通零点集合, すなわち
{(x1, …, xn) ∈ Rn  ;   fi(x1, …, xn)=0  (i=1, …, k)}
Rn の部分集合として図形を描いています.
連立方程式 fi(x1, …, xn)=0 は代数方程式と呼ばれます.

このように, 一般に代数方程式を考える事 (代数) と
それが定める図形を考える事 (幾何) とは表裏一体であると言えます.

その点に注目して, 代数方程式を幾何的に捉えようとする分野が代数幾何であり,
代数方程式の零点集合は代数多様体と呼ばれます.

ところで, 上の代数多様体と代数方程式の関係はイデアルの言葉を使って言い換えることができます.
実数上の n 変数の多項式全体の作る環 R[X,Y] を A とすると, Rn に含まれる代数多様体 X の全体と,
A に含まれるイデアル I の全体との間には, 次のような関係があります:

  • 代数多様体 X 上で 0 となる多項式全体 I は多項式環 A のイデアルとなる,
  • 逆に, I を A のイデアルとすると, I の全ての多項式の共通零点集合 {(x,y)  ;  i(x,y)=0, ∀i∈I} は, 代数多様体になる.

また, 代数幾何では,
代数方程式の共通零点を閉集合と定めることにより位相が定義される,
Zariski (ザリスキー) 位相というものがあり, 代数幾何の基本的概念の1つとなっています.

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rational とは

”rational” が付いている数学用語といえば,
”rational number”, ”rational function” などがあって
それぞれ「有理数」, 「有理函数」と日本語訳されます.

しかし ”rational” は「比の」という意味で,
rational number と rational function は実際そのように書けます:
a/b, a と b≠0 は整数.
P(x)/Q(x), P と Q≠0 は変数 x に関する任意多項式.

では, 何故「理性の」と解してしまったのでしょうか.
私はその理由を知らないので, もし知っている方がいれば教えてください.

本来は「有比数」, 「有比函数」などの言葉が使われるべきだと思いますが,
今更訂正するわけにはいきませんね.

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専門で用いる代数たちと多様体たち

私の専門で頻出するオブジェクトは以下の通り.
記号 “↔” は同型類の1対1対応を表しています.

(i) {Lie algebras}
↔ {connected, simply connected Lie groups}

(ii) {Euclidean Jordan algebras (formally real Jordan algebras)}
↔ {symmetric cones (homogeneous and self-dual open convex cones)}

(iii) {clans (compact normal left symmetric algebras)}
↔ {homogeneous (regular open convex) domains}

(iv) {clans with a unit element}
↔ {T-algebras}
↔ {N-algebras}
↔ {homogeneous (regular open convex) cones}

(v) {normal j-algebras obtained from clans}
↔ {homogeneous tube domains over regular open convex cones
(homogeneous Siegel domains of the first kind)}

(vi) {normal j-algebras}
↔ {homogeneous Siegel domains (of the second kind)}

N-algebra は結合的で, それ以外の代数は非結合的.
また, Jordan algebra は可換で, それ以外の代数は非可換.
このように, 計算しにくい代数を扱っていますが, 幾何学的オブジェクトを代数的に研究する上で強力な道具となります.
それに加えて, 多様体上で多変数の実および複素解析をやっていました.

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