Mathematics

私の専門で頻出するオブジェクトは以下の通り.
記号 “↔” は同型類の1対1対応を表しています.

(i) {Lie algebras}
↔ {connected, simply connected Lie groups}

(ii) {Euclidean Jordan algebras (formally real Jordan algebras)}
↔ {symmetric cones (homogeneous and self-dual open convex cones)}

(iii) {clans (compact normal left symmetric algebras)}
↔ {homogeneous (regular open convex) domains}

(iv) {clans with a unit element}
↔ {T-algebras}
↔ {N-algebras}
↔ {homogeneous (regular open convex) cones}

(v) {normal j-algebras obtained from clans}
↔ {homogeneous tube domains over regular open convex cones
(homogeneous Siegel domains of the first kind)}

(vi) {normal j-algebras}
↔ {homogeneous Siegel domains (of the second kind)}

N-algebra は結合的で, それ以外の代数は非結合的.
また, Jordan algebra は可換で, それ以外の代数は非可換.
このように, 計算しにくい代数を扱っていますが, 幾何学的オブジェクトを代数的に研究する上で強力な道具となります.
それに加えて, 多様体上で多変数の実および複素解析をやっていました.

photo credit: Key lime pie ice cream cone via photopin (license)

Lotka-Volterra (ロトカ・ボルテラ) 方程式は次に示すように,
種内競争のない 2 種生物間における捕食系を最も簡単に表した非線型微分方程式です.

dx/dt = rx – axy,
dy/dt = bxy – cy.

ここで x, y はそれぞれ被食者と捕食者の個体数,
t は時間, r, a, b, c は正の定数です.

このモデルには相平面上に 2 つの平衡点 (0,0), (c/b,r/a) がありますが,
解軌道は図のように共存平衡点 (c/b,r/a) の周りを巡ることが分かります.

私が昔書いた共著論文では, Lotka-Volterra モデルの被食者・捕食者間の関係をより現実的に表したモデルを作り,
解軌道がリミットサイクルになることを Poincaré-Bendixson の定理を使って示しました.
また, 理論に基づいてシミュレーションを行い, 解の振舞いを調べました.

ある場所で蝶が羽ばたくと, 地球の反対側で竜巻が起こる.

これは映画『バタフライ・エフェクト』の冒頭で,
初期条件の僅かな違いが, 将来の結果に大きな差を生み出す,
というカオス理論の端緒となった現象を喩えたものです.

それは次に示す Lorenz (ローレンツ) 方程式という非線型微分方程式において初めて発見されました.

dx/dt = -xσ + σy,
dy/dt = rx – xz – y,
dz/dt = xy – βz.

ここで, t は時間, σ, r, β は正の定数です.
σ = 10, r = 28, β = 8/3 に対して, アメリカの気象学者 Lorenz は興味深いアトラクタを発見し,
それは Lorenz アトラクタと呼ばれるようになりました.
特徴として, 次のようなものがあります.

1. 僅かな初期条件の違いで結果が大きく異なる.
2. 軌道は同じ点に戻ることはない(非周期性).
3. 秩序がないにもかかわらず, 軌道はある有界領域内に落ち着く.

これはストレンジアトラクタの 1 つで,
図のように蝶の羽に見える軌道が Lorenz アトラクタです.

身近に感じるカオスの例を 1 つ挙げましょう.
天気予報は何故外れるときがあるのでしょうか？
それは恐らく気象系がカオスを成しているからと言えるでしょう.
実際, 長期の予報は不可能です. 一方, 初期状態が近ければ
暫くは近い軌道を描くのだから短期的には予報も可能であって, 週間予報は大体当たっていますね.

ローレンツアトラクタの flash：
http://www.levitated.net/daily/levLorenzAttractor.html

 

photo credit: Chaotic Attractor via photopin (license)