無限に関するトピックを1つ.
0.9999…
と無限に小数点以下の 9 が続いていくと何になるでしょうか？
答えは 0.9999… = 1 になります.
この証明は無限等比級数の和を使うと簡単に示せます.
初項を a=9/10, 項比を r=1/10, 第n+1項までの和を Sn とすれば,
Sn = a + ra + r2a + r3a + … + rna,
rSn = ra + r2a + r3a + r4a + … + rn+1a
と表せるので, 2つの等式の各辺を差し引きすれば,
(1-r)Sn = a – rn+1a.
ここで, 0 < r < 1 であるから, n → ∞ とすれば, Sn → ∞ = a / (1-r).
よって, (9/10) / (1-1/10) = 1 となります.
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