Mathematics

ネズミ講 (ピラミッド・スキーム) の数学的考察

Bitcoin が誕生して以来, これまで星の数ほどのデジタルアセットがブロックチェーン上で次々と誕生しています.
このデジタルアセットを用いることで, クロスボーダー送金が以前よりも格段に容易となりました.

便利になる一方で, デジタルアセットにかかるクロスボーダー犯罪 (特に詐欺) が多発しているのが現状です.
例えば, ポンジ・スキーム, HYIP (High Yield Investment Program),
違法性の高いマルチ商法 (ネットワークビジネス, ネットワークマーケティングとも言う)*1, ネズミ講などが挙げられます.
数年前の仮想通貨ブーム時は, ICO 詐欺, マイニング詐欺をよく見かけていました.

*1 マルチ商法自体は違法ではありませんが, 勧誘行為に違法性が見受けられるという意味です.

詐欺の被害にあったとしても, 仮想通貨のアドレス (アカウント) は本人確認が必要な取引所を介さない限り,
犯人の個人情報と紐付かないため, 振り込め詐欺の捜査よりも難航します.
ちなみに, 本人確認が必要な取引所を介したとしても, 途中で匿名通貨に交換していれば*2,
換金される可能性があります.

*2 よく勘違いされている事実ですが, Bitcoin は暗号化がされおらず, 匿名でもありません.
ここで, 匿名とは, Bitcoin の送信者アドレスと受信者アドレスが秘匿されているという意味です.
アドレスが個人情報と直接紐付かないというだけで, あくまでも擬似的な匿名性を有しているだけです.

さて, ここからはタイトルにある通り, 詐欺の1つであるネズミ講 (ピラミッド・スキームとも言う) について,
それが破綻する仕組みを数学的に考察します.

ネズミ講にかかる商法の会員の報酬は, 同じ商法への会員を募ることによって得られます.
会員 (親) はそれぞれ数人の新規会員を勧誘しなければなりません.
新規会員 (子) は入会費等の手数料を支払い, その一部が紹介料として勧誘者 (親) の報酬となります.
さらに, 子の会員が新規会員 (孫) を入会させると, 親と子は紹介料を得ることができます.
このように, 会員が会員を勧誘していくことで会員が増えていくさまを, ネズミの出産に例えてネズミ講と呼ばれています.
数学的に言うと, ネズミ講はある期間にネズミがどれだけ増えるかを求めるネズミ算式で, 等比級数の問題となります.

仮に, それぞれの会員が報酬を受け取るための条件として, 2 人の新規会員の勧誘が必要とします.
このネズミ講の首謀者を第 1 階層とすれば, 第 2 階層は 2 人, 第 3 階層は 4 人, と続いていきます.

このとき, 等比級数で表現すると, 初項が 1 (首謀者), 公比 2 (新規会員) であるから,
第 N 階層までの人数は,
1 × (1 – 2N) / (1 – 2) = 2N – 1
となります.
第 26 階層にもなると, 合計会員数が 6,700 万人となり, 第 27 階層目で日本の人口を超えてしまいます.
このようなことから, 会員が飽和してしまい破綻することになるのです.

視覚的には下図のようにピラミッド型の構造をしていることがピラミッド・スキームと言われる所以です.


図1 ネズミ講の構造はピラミッド型

逆に, 上記と同じ条件で, アメリカの人口 329,065,000 (2019年データ) を超える時点を見てみましょう.
次の式を満たす最小の階層 (自然数) N を求めます:
2N – 1 > 329065000
⇔ 2N > 329065001.

ここで, 両辺に log2 をとれば,
N > log2(329065001)
⇔ N > 28.293797350225926.

よって, 最小の階層 N は 29 となります.

Scam Vectors by Vecteezy

IQ150の問題

次の問題は, 私が中学生のときに教わったもので, 当時IQ150の問題と言われていました.
※問題文の表現が過激なのはご了承ください

問題:
ある家族「父・母・娘が2人・息子が2人・召使・犬」がいます.
この家族が大きな川を渡ろうとしています.
ただし, 条件が幾つかあります.

  • 舟は1つしかありません,
  • 舟に乗れるのは2人まで (犬も1人と数える),
  • 舟には漕ぎ手が必要で, 舟を漕げるのは, 父, 母, 召使の3人だけ,
  • 父は, 母がいないと娘を殺してしまいます,
  • 母は, 父がいないと息子を殺してしまいます,
  • 犬は, 召使がいないと家族を殺してしまいます.

何回往復しても構いません.
さて, どうすれば誰も死なずに川を渡れるでしょうか?

これと似た問題に, 「川渡しの問題」と呼ばれる古典的な (論理) パズルがあり,
8世紀にイギリスの神学者 Alcuin (アルクイン) が考案したと伝えられています.

Alcuin の問題は, オオカミ, ヤギ, キャベツの全てを無事に向こう岸に運ぶには?

というもので, 上記の問題は, そのバリエーションと思われます.
解答例を見てみましょう. 

解答例

数学科卒は「数字」に強いのか?

社会人になってから, 感じたことです.

「大学で数学を勉強していたということは数字に強いんですね. 」

数学科を卒業した人なら, 一度は言われたことのある一言だと思います.
そういう私も数学科卒なので, 社会人になってから言われる機会が時々ありました.

しかし, 実際のところ, 数学科卒は「数字」に強くないと思います (どちかというと弱い?).
何に強いかというと「数式 (文字式)」です.

これには理由があって, 算数ならともかく, 大学数学以上になると,
殆どが文字や論理記号を含んだ「数式」を用いるため, 「数字」を扱う頻度がかなり低くなっているからです.
そして, 数学科卒は「数字」に弱くなってしまったということです
(もちろん中には「数字」に強く, 算数の得意な人はいます).

1 日中「数式」と向き合っていた学生の頃と比べると,
社会人になってから「数字」を頻繁に扱うようになり慣れてきたものの,
「数字」に強いと思われると, 未だに違和感を覚えてしまいます.

数学って, 紙とペンさえあれば n 次元 (n は自然数) の世界に入って行けるので面白いですが,
やはり 4 次元以上は目に見えない分, 抽象的な話になってしまいますね.

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(-1) × (-1) = 1 になることの証明

よく知られている次の演算規則
(− 1) × (− 1) = 1
がどのようにして導かれるかを見てみましょう.

ここでは, 正の数 (自然数) とは何か, 負の数とは何かについて深く考えず,
機械的に等式を導くことにします.

まず, 1 × {1 + (− 1)} = 1 × 0 = 0 より, 分配法則を使えば,
1 × 1 + 1 × (− 1) =0. 移行して, 1 × (− 1) = − 1 となる.
よって
0 = 0 × (− 1)
    = {1 + (− 1 )} × (− 1)
    = 1 × (− 1) + (− 1) × (− 1)
    = − 1 + (− 1) × (− 1).
従って,
(− 1) × (− 1) = 1
となる.

数式に現れる負の数の演算も自由に行えるようになったのは,
18世紀になってからであると言われています.
しかし, 当時はその正当化はされていませんでした.
その後, 負の数の演算規則は, 結合法則, 可換則, 分配法則などから導かれるものであると明確化したのは,
19世紀のイギリスの数学者 George Peacock (ジョージ・ピーコック) (1791 – 1858) の著書『代数学』 (1830) です.
この考え方は, 「形式普遍の原理」(もしくは形式不易の原理) と言われ,
正の数で成り立つ命題を負の数にも成り立つと認めるという方法です.

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ダッシュとプライム

例えば f′ と右肩に付いている記号 ”′” を何と読みますか?
f を函数と思っても良いし, 只のアルファベットと思っても構いません.

多くの日本人は ”ダッシュ (dash)” と読むのではないでしょうか.
しかし, それは正しくなく ”プライム (prime)” と読むのが正しいです.

実際に, 辞書で prime を引いてみると, プライム記号 (”A’” の ”’”記号のこと) と書いてあります.
dash を辞書を引いてみると, ダッシュ記号 (―) と書いてあります.

私は大学で数学を学ぶまでは, ”ダッシュ (dash)” と思っていましたが,
数学科の授業では ”プライム (prime)” と読むのが常識でした.

では何故多くの日本人はダッシュと読んでしまうのでしょうか.
それは日本の高校数学でダッシュという読み方が何故か常識になっており,
それが大きく影響していると思われます.

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