Jordan 曲線定理


次の定理を Jordan (ジョルダン) 曲線定理と呼びます。

c を平面上のループ (Jordan 曲線、単純閉曲線とも言う) とすれば、
その補集合 R2-c は有界な部分 (内部) と有界でない部分 (外部) から成り、2つの領域の境界は c です。
c の内部と外部からそれぞれ1点ずつをとれば、それらを結ぶ弧は必ず c と交わる。

この定理は一見明らかのように思えますが、
一般のループに対して証明するのは難しく、位相幾何学の知識を必要とします。

いま、 R2 について述べましたが、R3 の場合は成り立つでしょうか?
答えは、成り立ちません。
R3 内のループでは内部も外部もないことは明らかでしょう。

また曲面上のループを考えると、球面 S2 上では定理が成り立ちます。
ただ、単連結の記事で書いたように内部・外部の区別は意味がありません。

トーラス上には定理が成立しないようなループがあります。

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