専門で用いる代数たちと多様体たち


私の専門で頻出するオブジェクトは以下の通り.
記号 “↔” は同型類の1対1対応を表しています.

(i) {Lie algebras}
↔ {connected, simply connected Lie groups}

(ii) {Euclidean Jordan algebras (formally real Jordan algebras)}
↔ {symmetric cones (homogeneous and self-dual open convex cones)}

(iii) {clans (compact normal left symmetric algebras)}
↔ {homogeneous (regular open convex) domains}

(iv) {clans with a unit element}
↔ {T-algebras}
↔ {N-algebras}
↔ {homogeneous (regular open convex) cones}

(v) {normal j-algebras obtained from clans}
↔ {homogeneous tube domains over regular open convex cones
(homogeneous Siegel domains of the first kind)}

(vi) {normal j-algebras}
↔ {homogeneous Siegel domains (of the second kind)}

N-algebra は結合的で, それ以外の代数は非結合的.
また, Jordan algebra は可換で, それ以外の代数は非可換.
このように, 計算しにくい代数を扱っていますが, 幾何学的オブジェクトを代数的に研究する上で強力な道具となります.
それに加えて, 多様体上で多変数の実および複素解析をやっていました.

photo credit: Key lime pie ice cream cone via photopin (license)