バタフライ効果


ある場所で蝶が羽ばたくと、地球の反対側で竜巻が起こる。

これは映画『バタフライ・エフェクト』の冒頭で、
初期条件の僅かな違いが、将来の結果に大きな差を生み出す、
というカオス理論の端緒となった現象を喩えたものです。

それは次に示す Lorenz (ローレンツ) 方程式という非線型微分方程式において初めて発見されました。

dx/dt = -xσ + σy,
dy/dt = rx – xz – y,
dz/dt = xy – βz.

ここで、t は時間、σ、r、β は正の定数です。
σ = 10、r = 28、β = 8/3 に対して、アメリカの気象学者 Lorenz は興味深いアトラクタを発見し、
それは Lorenz アトラクタと呼ばれるようになりました。
特徴として、次のようなものがあります。

  1. 僅かな初期条件の違いで結果が大きく異なる。
  2. 軌道は同じ点に戻ることはない(非周期性)。
  3. 秩序がないにもかかわらず、軌道はある有界領域内に落ち着く。

これはストレンジアトラクタの 1 つで、
図のように蝶の羽に見える軌道が Lorenz アトラクタです。

身近に感じるカオスの例を 1 つ挙げましょう。
天気予報は何故外れるときがあるのでしょうか?
それは恐らく気象系がカオスを成しているからと言えるでしょう。
実際、長期の予報は不可能です。一方、初期状態が近ければ
暫くは近い軌道を描くのだから短期的には予報も可能であって、週間予報は大体当たっていますね。

ローレンツアトラクタの flash:
http://www.levitated.net/daily/levLorenzAttractor.html

photo credit: Chaotic Attractor via photopin (license)