(-1) × (-1) = 1 になることの証明


よく知られている次の演算規則
(− 1) × (− 1) = 1
がどのようにして導かれるかを見てみましょう。

ここでは、正の数 (自然数) とは何か、負の数とは何かについて深く考えず、
機械的に等式を導くことにします。

まず、1 × {1 + (− 1)} = 1 × 0 = 0 より、分配法則を使えば、
1 × 1 + 1 × (− 1) =0。移行して、1 × (− 1) = − 1 となる。
よって
0 = 0 × (− 1)
    = {1 + (− 1 )} × (− 1)
    = 1 × (− 1) + (− 1) × (− 1)
    = − 1 + (− 1) × (− 1)。
従って、
(− 1) × (− 1) = 1
となる。

数式に現れる負の数の演算も自由に行えるようになったのは、
18世紀になってからであると言われています。
しかし、当時はその正当化はされていませんでした。
その後、負の数の演算規則は、結合法則、可換則、分配法則などから導かれるものであると明確化したのは、
19世紀のイギリスの数学者 George Peacock (ジョージ・ピーコック) (1791 – 1858) の著書『代数学』 (1830) です。
この考え方は、「形式普遍の原理」(もしくは形式不易の原理) と言われ、
正の数で成り立つ命題を負の数にも成り立つと認めるという方法です。

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