A ⊂ R とします. A が上に有界であるとは
∃M, ∀x ∈ A s.t. x ≤ M
が成り立つ事です.
そして, 次のような集合を A の上界と言います:
{ M′ ; x ≤ M′, x ∈ A}.
このとき, 最小の上界が存在し, これをAの上限と言い, sup A と書きます.
ここで, sup A は次のように2通りの表し方があることに注意しましょう.
(i) ∀x ∈ A, x ≤ sup A.
(ii) ∀ε > 0, ∃x ∈ A s.t. sup A – ε < x.
図を書いてみると理解しやすいと思います.
<記号の意味>
∃: ある～が存在する. existの意味.
∀: 任意の. 全ての. for allの意味.
s.t.: ～となるような. such thatの略.
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